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Lesson 10 / 12

行列演算と線形代数の基礎

このレッスンで学ぶこと

  • ベクトルのドット積を計算できる
  • @ 演算子・np.matmul で行列積を書ける
  • 要素積（*）と行列積（@）の違いを理解できる
  • 逆行列・固有値の概念と np.linalg の存在を知る

1. なぜ線形代数を学ぶのか

ここまで NumPy の「配列としての側面」を学んできました。 このレッスンでは 「行列としての側面」 を扱います。 AI・機械学習の世界では 線形代数（特に行列の演算）が事実上の共通言語 です。

このレッスンでは 「線形代数の理論」には踏み込まず、 「NumPyでどう書くか」と「何のために使うか」に絞って学びます。 理論を深掘りしたい方は、後で線形代数の専門教材や E資格対策で学習しましょう。（※コンテンツに関するご希望あれば「お問い合わせ」ページでご意見ください。）

2. ベクトルのドット積

ドット積（内積） は、2つの同じ長さのベクトルから1つのスカラーを返す演算です。 各要素を掛けて、その和を取ります。

数式：a · b = a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + ... + a[n-1]*b[n-1]

sample_1.py
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💡 ドット積の使いどころ：

  • 重み付き合計（特徴量×重みでスコア計算）
  • ベクトルの類似度（コサイン類似度の計算に使う）
  • ベクトルの長さ（自身とのドット積の平方根）

🩺 医療AI文脈： 「患者の特徴量から疾患リスクを点数化」する処理は、内部的にはドット積です。 特徴量 @ 重み という1行で、複数項目の貢献度を合算した1つのリスクスコアが得られます。

3. 行列積（@ 演算子）

行列積は、2つの行列を掛けて新しい行列を返す演算です。 @ 演算子で書くのが Python 3.5以降の標準です。

形状の条件：(m, n) と (n, k) の行列を掛けると (m, k) になります。 左の列数と右の行数が一致している必要があります。

💡 「ドット積」と「行列積」で同じ @ を使うのはなぜ？

NumPyの @ 演算子は 入力配列の次元によって動作が自動的に切り替わる ように設計されています。

  • 1D × 1D（前セクション）：ドット積 → スカラーを返す
  • 2D × 2D（このセクション）：行列積 → 2D行列を返す
  • 1D × 2D / 2D × 1D：ベクトル×行列 → 1D配列を返す

数学的には「ドット積は行列積の特殊ケース」と捉えられるため、同じ記号で扱えます。NumPyが入力の shape を見て、適切な計算を自動的に選びます。

⚠ ただし、* は まったく別の演算（要素積）です。混同しないよう、次セクションで @ と * の違いを整理します。

sample_2.py
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💡 行列積の形状の覚え方： (m, n) @ (n, k) → (m, k)
「内側の n が一致して消え、外側の m と k が残る」と覚えるとミスが減ります。 実コードでは print(A.shape, B.shape) で確認してから書く習慣をつけましょう。

🤖 AI用語メモ — 「全結合層」とは？
AIニューラルネットワークで最も基本的な構成要素のひとつが 全結合層（Fully Connected Layer）です。 その計算の正体は 「入力 @ 重み + バイアス」。つまり、このレッスンで学んだ行列積そのものです。 PyTorch の nn.Linear も TensorFlow の Dense も、内部ではこの計算を行っています。 NumPy で X @ W + b が書ければ、AIの基本構造はもう半分理解したも同然です（残り半分は活性化関数で、次のレッスンで扱います）。

4. 要素積（*）と行列積（@）の違い

初学者が最も混乱するポイントです。* と @ はまったく違う計算です。

記号呼び方入力 shape結果の shape用途
A * B 要素積 同じ shape（または broadcast 可能） 入力と同じ マスク・スケーリング
a @ b ドット積（@ の1D版） 1D × 1D（同じ長さ） スカラー 重み付き合計・類似度
A @ B 行列積（@ の2D版） 2D × 2D（左の列数 = 右の行数） 2D 行列 線形変換・AI推論

💡 ひと言で整理：

  • @ は 数学の「内積・行列積」を1記号でカバー（入力次元で自動切替）
  • * は 「要素ごとの掛け算」。@ とは完全に別物
  • 判断基準：「線形変換をしたい」→ @／「マスクをかける・スケーリングする」→ *
sample_3.py
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⚠ * と @ を間違えるとバグになる： 両方とも文法的にはエラーにならないことが多く、結果も「(N, N) の行列」になるので気づきにくいバグの温床です。 AI実装で「線形変換をしたい」場合は必ず @、「マスクをかける・スケーリングする」場合は *、と意識して使い分けましょう。

5. 逆行列・固有値（概念紹介）

NumPy には線形代数の専門関数群が np.linalg モジュールに用意されています。 ここでは 「こういう機能がある」ことを知ってもらう紹介に留めます。 理論や応用は線形代数の専門学習や E資格対策で深めてください。

sample_4.py
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💡 np.linalg の主な機能と使われる場面：

  • inv(A)：逆行列。連立方程式を解く・回帰係数を求める
  • det(A)：行列式。線形変換の体積比、行列が逆を持つかの判定
  • eig(A)：固有値・固有ベクトル。主成分分析(PCA)の中核
  • norm(A)：ベクトル・行列のノルム（長さ）
  • solve(A, b)：連立方程式 Ax = b を高速に解く

これらは初学者が「いま使う」必要はありませんが、AI・データ解析で必ず再会します。「np.linalg に色々ある」と覚えておくだけでも十分です。

6. 練習問題

問題 1

特徴量×重みでスコアを計算しよう

患者の特徴量 x = np.array([60, 25.0, 1])（年齢、BMI、喫煙歴）と 重み w = np.array([0.03, 0.04, 0.30]) から、 ドット積でリスクスコアを計算してください。

exercise_1.py
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ヒントを見る（答え＋解説） 
import numpy as np

x = np.array([60, 25.0, 1])
w = np.array([0.03, 0.04, 0.30])

# ドット積でスコアを計算してください
score = x @ w
# 代替: score = np.dot(x, w)

print("リスクスコア:", score)
# → 60*0.03 + 25*0.04 + 1*0.30 = 1.8 + 1.0 + 0.3 = 3.1

x @ w がドット積の最も推奨される書き方です。「重み付き合計」がそのまま1行で計算できます。

問題 2

行列積で複数患者の複数リスクを一気に計算

以下の特徴量行列 X（3患者×3項目）と重み行列 W（3項目×2リスク）から、 行列積で全患者の両リスクスコアを一気に計算してください。

exercise_2.py
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ヒントを見る（答え＋解説） 
import numpy as np

X = np.array([
    [50, 24.0, 0],
    [65, 28.5, 1],
    [40, 22.0, 0]
])
W = np.array([
    [0.02, 0.01],
    [0.05, 0.08],
    [0.40, 0.20]
])

# 行列積で全患者×全リスクのスコアを計算してください
scores = X @ W

print("scores shape:", scores.shape)   # (3, 2)
print("結果（心疾患, 糖尿病）:")
print(scores)

(3, 3) @ (3, 2) → (3, 2)。1行で「3人×2リスク = 6つのスコア」が同時に計算されます。これがAIモデルの全結合層の計算そのものです（あとはバイアスを足して活性化関数を通せば完成）。

問題 3

要素積と行列積の結果を比べよう

以下の2つの (2, 2) 行列について、要素積 (*) と 行列積 (@) の両方を計算し、結果が全く違うことを確認してください。

exercise_3.py
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ヒントを見る（答え＋解説） 
import numpy as np

A = np.array([[2, 3],
              [4, 5]])
B = np.array([[1, 0],
              [0, 1]])

# 要素積と行列積をそれぞれ計算してください
elem_product = A * B
mat_product  = A @ B

print("要素積 (A * B):")
print(elem_product)
# [[2 0]    ← A * B は対応する要素同士を掛ける
#  [0 5]]

print("\n行列積 (A @ B):")
print(mat_product)
# [[2 3]    ← A @ I = A（単位行列との行列積は自分自身）
#  [4 5]]

要素積では A * B = [[2*1, 3*0], [4*0, 5*1]] = [[2, 0], [0, 5]]。 一方、行列積では「単位行列との積は元のまま」という性質があり、A @ I = A となります。 同じ形の行列でも、* と @ で全く別物の結果になることを実感してください。

7. まとめ

このレッスンのポイント

  • ベクトルのドット積：a @ b。重み付き合計や類似度の計算に
  • 行列積：A @ B。(m, n) @ (n, k) → (m, k) の形状規則
  • 要素積（*）と行列積（@）はまったく別物。混同注意
  • np.linalg：逆行列・行列式・固有値・連立方程式などの専門関数群
  • AIの全結合層は 入力 @ 重み + バイアス という1行で表現できる（次のレッスンで実装）

自由に試してみましょう：

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