ベイズの定理シミュレータ
— 有病率・感度・特異度から陽性的中率を計算する

ベイズの定理 — 「原因と結果」を逆向きにたどる

私たちが知りたいのは「陽性だったとき、病気である確率」P(病気｜陽性) です。 しかし検査の性能として分かっているのは逆向きの「病気のとき、陽性になる確率」P(陽性｜病気)＝感度。 この向きをひっくり返す道具がベイズの定理です。

$$P(D \mid +) = \frac{P(+ \mid D)\,P(D)}{P(+)} = \frac{P(+ \mid D)\,P(D)}{P(+ \mid D)\,P(D) + P(+ \mid \bar{D})\,P(\bar{D})}$$

記号を検査の言葉に置き換えると、\(P(+\mid D)\)＝感度、\(P(+\mid \bar D)\)＝1−特異度（健康なのに陽性になる率）、 \(P(D)\)＝有病率（事前確率）。つまり分母は「陽性になる人の総数＝本当の陽性＋間違いの陽性」で、 分子は「そのうち本当の陽性」。シミュレータの式の欄は、この計算をそのまま実況しています。

4つの指標の定義

重要なのは、感度・特異度は「検査そのものの性能」で集団によらず一定とみなせるのに対し、 PPV・NPVは「どの集団で使うか（有病率）」で変わることです。 機械学習の文脈では感度＝再現率（Recall）、PPV＝適合率（Precision）と同じものです。

なぜ有病率で激変するのか — 「有病率の罠」

有病率1%・感度90%・特異度90%の場合を、1万人で数えてみます。

• 病気の人は100人 → そのうち90%の90人が正しく陽性（TP）
• 健康な人は9,900人 → 特異度90%でも、10%の990人が間違って陽性（FP）
• 陽性は合計 90 + 990 = 1,080人。本当に病気なのは 90 ÷ 1,080 ≒ 8.3%

つまり、病気の人が少なすぎると、わずかな誤判定率でも「間違いの陽性」の絶対数が「本当の陽性」を圧倒するのです。 検査が悪いのではなく、算数の必然です。逆に有病率20%の集団（症状があって受診した人など）では、 同じ検査でもPPVは大きく上がります——上のシミュレータで確かめてみてください。

E資格 練習問題

ベイズの定理はE資格の応用数学（確率・統計）の代表的なテーマです。 シミュレータで直感をつかんだら、手計算でも解けるか試してみましょう。

理論の全体（確率分布・最尤推定など）は 確率・統計の解説ページ で体系的に学べます。